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Curiosité mathématique ...
The K le 02/07/2012 à 12:26
Bonjour à tous !
Aujourd'hui lundi 1 juillet, je me suis souvenu d'un post qui disait que 69,5! était possible. (l'auteur du post, dis moi qui tu es je ne me souviens plus !)
Seulement 69.5 = 1*2*3*...*69*?????
69.5 n'est en effet pas un nombre entier
J'ai donc décidé de mener l'enquête, et sur wikipédia, je suis tombé sur ceci : "La fonction factorielle peut être prolongée à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des nombres entiers négatifs ou nuls) grâce à la fonction gamma d'Euler (notée Γ)". :o
Bon ... je sens que je vais m'aventurer sur un terrain glissant ... mais peu importe. Je vais voir, je suis curieux !
(
site)
Car, sans connaitre vraiment les complexes, il est évident que 69.5 = 69.5+0i ... et donc que je tiens la la réponse à ma question !!
Je vais donc voir sur l'article et dans la section "lien avec la factorielle", je trouve :
Citation
Une intégration par parties montre que
Gamma(z+1)=zGamma(z).
Comme en particulier Gamma(1)=1, on en déduit :
Pour tout n appartenant à N,Gamma(n+1)=n!
La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).
Une notation alternative est la fonction pi, introduite par Gauss :
Pi(z) = Gamma(z+1) = zGamma(z),
de telle façon que :
Pi(n) = n!
Mais ? Mais bon sang ? On parle de complexe, de naturels (on a l'ensemble N) mais ou sont les réels ? Ou est 69.5 ??? Comment on passe de complexe aux naturels par une fonction gamma super compliquée ? Qui ? Que ? Quoi ? Dont ? Ou ? POCQQ ? Enfin bref ...
Y aurait-il qqun qui aurait compris ça et qui peut l'expliquer d'une manière abordable ? (sinon c'est pas grave vous me réexpliquez dans un an ou deux ^^)
Samos le 02/07/2012 à 14:48
Pourquoi se casser la tête avec wikipedia!
Il me semble que c'est juste un point commun avec la factorielle la fonction gamma mais je ne m'y connais pas trop en math
Citation
n!=n*(n-1)*(n-2)* ... *2*1, si n est un entier ‚ 0
n!= n*(n-1)*(n-2)* ... *1/2*‡p, si n+1/2 est un entier ‚ 0
n! est erroné si ni n ni n+1/2 n’est un entier ‚ 0.
Je ne sais pas d'ou viennent les complexes d'ailleurs je ne sais (presque) pas ce que c'est
#p doit etre la racine de pi
The K le 02/07/2012 à 17:16
Dans les faits la factorielle découle de la fonction gamma. Enfin bref les deux sont plutot liées. Ce n'est pas juste un point commun
(ou un gros point commun alors !).
Un complexe est simple à la base à comprendre : c'est un nombre sous le forme a+bi, avec a et b réels et i²=-1. Le plus dur c'est tout ce qui gravite autour.
Quand a la citation que tu m'as donnée elle ne m'aide pas beaucoup : je savais déja que ça fonctionnait pour un nombre n appartenant à l'ensemble N. Je m'intéréssais au fait que l'on puisse faire la factorielle d'un nombre réel.
Mais merci quand même
blg_flg le 02/07/2012 à 17:25
Bien tenté.
Ça me rassure de voir que je ne suis pas le seul à être plus ou moins perdu!
*Le Grec se cogne la tête contre son clavier, mais pas trop fort quand même, parce qu'il ne faut pas le casser parce qu'il ne pourrait plus poster sur le joli fofo de Tout 82 et que ce n'est pas bien de ne pas prendre soin de ce qui nous appartient pas et il ne faut pas faire aux autres ce qu'on aimerait pas qu'on nous fasse parce que le gentil clavier est au gentil papa du Grec*
PS: The K: Là, j'avoue que j'ai peut-être pété une durite, mais aussi il ne faut pas écrire des choses comme ça. La fonction gamma d'Euler... Et puis quoi encore?
EGUL le 02/07/2012 à 17:48
Gamma(69,5)
+infini
S t^(69,5-1) e^(-69,5) dt
0
On a donc
+infini
S t^(68,5) e^(-69,5) dt
0
Plus que l'Intégration par parties pour avoir le résultat.
Je te mâche le travail nan?
Si tu ne sait pas faire une IPP.
Bah renseigne toi ou je la ferais pour toiblg_flg le 02/07/2012 à 17:50
C'est quoi une IPP?
<- Boulet repéré.
EGUL le 02/07/2012 à 17:53
IPP=Intégration par parties ^^EGUL le 02/07/2012 à 18:01
Mais en fait l'IPP n'est pas nécessaire, faut utiliser les limites.blg_flg le 02/07/2012 à 18:02
Merci, mais j'ai toujours pas compris.
Je crois qu'il me reste plus qu'à chercher sur internet.
Aaaahhhh! Je viens de regarder sur Wikipédia.
Wikipedia a écrit :
En mathématiques, l'intégration par parties est une méthode qui permet de transformer l'intégrale d'un produit de fonctions en d'autres intégrales, dans un but de simplification du calcul.
Pour les 2° cherchant à se faire peur:
https://fr.wikipedia.org/wiki/[...]ion_par_parties EGUL le 02/07/2012 à 18:07
+infini
S t^(68,5) e^(-69,5) dt
0
+infini
= e^(-69,5) [(t^(69,5)/68,5]
0
= e^(-69,5) (lim(t->+oo) (t^69,5)/68,5 ) - 0
Plus qu'a remplacer par la valeur de la limite et hop le tour est joué !!
Libre à toi de croire mes calculs.EGUL le 02/07/2012 à 18:10
Finalement tu as 69,5!=+oo
Intéressant nan?
Donc on voit clairement que la factorielle d'un décimal n'est pas une bonne idée!
The K le 02/07/2012 à 18:46
Ah EGUL je t'ai pas dit en fait je sors pas de terminale spé maths je sors de première ... c'est pour ça que je comprends rien a ce que tu asécrit xD (bien que je vais m'efforcer d'y voir au clair !). je recherche je recherche ...
Mais en fait je cherche juste le lien en réels et complexes par rapport a la factorielle. (je sais pas si c'est très clair mais bon ...)
D'ailleurs : 69.5! marche sur TI mais pas sur casio
PS : non j'ai pas pété une durite c'est mon coté curieux (et un peu trop parfois !)
blg_flg le 02/07/2012 à 18:55
The K a écrit :
D'ailleurs : 69.5! marche sur TI mais pas sur casio
PS : non j'ai pas pété une durite c'est mon coté curieux (et un peu trop parfois !)
A mon avis ce n'est pas étonnant si ça ne marche pas sur cette sous race de calculatrice.
C'est moi qui avait pété une durite. Pas toi. Si tu ne trouves pas suspecte ma réaction, on est deux à aller voir un psy!
Persalteas le 02/07/2012 à 18:59
*persalteas fuitblg_flg le 02/07/2012 à 19:02
[flood]
Pourquoi fuis tu persalteas?
Serait-ce du flood? Mets au moins la bonne balise.
[/flood]
Persalteas le 02/07/2012 à 19:03
*persalteas a vu des maths
*persalteas fuit
*persalteas est un mmodérateur, il ne floode jamaisblg_flg le 02/07/2012 à 19:05
persalteas a écrit :
*persalteas est un modérateur, il ne floode jamais
C'est vrai. J'avais oublié.
Mais pourquoi les math te font elles fuir? A cause de ton concours?
Persalteas le 02/07/2012 à 19:06
Bah euh, non, j'aime pas les maths c'est tout.blg_flg le 02/07/2012 à 19:11
Et moi qui croyais que les programmeurs ayant fait un bac scientifique aimaient les math!
Je me sens moins seul.
Personnellement, ma grande curiosité, à moi ne me pousse pas jusqu'à faire des math en vacances.
EGUL le 02/07/2012 à 19:21
Au passage, 2,5!/2! = 1,66 et 1,5!/1! = 1,32
Si on fait la différence, on a 0,33
On le multiplie par 69 et on A 22,93.
69,5!/69!=8,35 mmh
La question de la factorielle décimale est donc bizarre.
Au passage je me suis planté dans mon calcul!Samos le 02/07/2012 à 20:56
Quelqu'un parle français ici?
69.5! donne un gros nombre sur la calculatrice mais pas l'infini (ne m'en voulez pas je sors de seconde
)
Sinon il me semble qu'on a pas souhaité la bienvenue à EGUL, alors bienvenue!
D'ailleurs je crois qu'il a peté tous les records de message par jour
The K le 02/07/2012 à 21:49
En fait c'est ça qui me surprenait. Une fonction délimitée pour des entiers, ok. Une fonction s'appuyant sur celle ci dans l'ensemble complexe, ça marche aussi. Mais je vois pas ou est la "passerelle", le "pont" entre les deux.
Curiosité mathématique ?
linkakro le 09/07/2012 à 21:46
Tu ne vois pas le pont ? observe la propriété suivante : (j'ai bien dit propriété, pas définition)
Gamma(Z+1)=Z*Gamma(Z) pour tout complexe Z
factorielle(N+1)=N*factorielle(N) pour tout N entier naturel
Rappelons que les entiers naturels sont un cas particulier des nombres complexes.
Il ne reste plus qu'à connaître une valeur particulière.
La fonction Gamma est très compliquée à calculer, alors on préfère définir des suites en utilisant la propriété de récurrence, pour peu qu'on ait réussi à calculer une des valeurs particulières de Gamma.
Dans le cas particulier de la factorielle habituelle, on connaît Gamma(0)=1 et on définit la suite factorielle facilement.
La calculatrice TI supporte une définition avec Gamma(-1/2)=racine(Pi) et les k=n-1/2, d'où le calcul possible de 69.5!
J'ai bien envie de reprendre la démo de EGUL, [strike]juste pour me rappeler la terminale, puisque je rétrograde au niveau bac+1 après ma cpge[/strike]
Code
Rappelons la manière de manipuler des intégrales en infini, en supposant que la fonction h(z,t) est définie pour t=0 (et tout z) :
x
g(z,x) = S h(z,t)*dt
t=0
+oo x
f(z)= S h(z,t)*dt = lim S h(z,t)*dt = lim g(z,x)
t=0 x->+oo t=0 x->+oo
Dans le cadre de Gamma :
+oo z-1 -t
G(z)= S t *e *dt
t=0
( [ z -t ]x x z -t )
G(z)= lim ( [ t *e ] - S t *-t*e *dt )
x->+oo ( [ /z ]t=0 t=0 /z )
( z -x z -0 x z -t )
G(z)= 1/z* lim ( x *e - 0 *e + S t *t*e *dt )
x->+oo ( t=0 )
( z -x x z+1 -t )
z *G(z)= lim ( x *e - 0 + S t *e *dt )
x->+oo ( t=0 )
( z -x ) +oo z+1 -t
z *G(z)= lim ( x *e ) + S t *e *dt
x->+oo ( ) t=0
z *G(z)= 0+ G(z+1) = G(z+1)
blg_flg le 09/07/2012 à 22:34
Tu voudrais pas faire prof de math, Linka?
*Le Grec a vu la démonstration. Il est parti vomir. Il est revenu et se demande pourquoi se torturer ainsi pendant les vacances. D'ailleurs c'est pire, parce que pour vous ce n'est même pas de la torture.*The K le 15/07/2012 à 18:22
Ohoo ^^
Merci beaucoup Linka ! Plus qu'à déchiffrer ça et ce sera bon ... Mais la ou je suis j'ai du temps
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